《業(yè)哥陪你學(xué)數(shù)學(xué)系列貼——含參 一元一次方程及二元一次方程組》

寒水依衡

       含參方程：顧名思義，含參方程指方程中有未知數(shù)（一般用x，y），還含有其他參數(shù)（諸如a，b，c，k這一類）的方程。同學(xué)們在解決這類問題時，犯的主要問題是很多人拿到方程或者方程組之后會埋頭算，但這類題目很難直接算出答案，需要具備一定技巧和方法。接下來就給大家詳細(xì)介紹幾類常考題型。
解決以下問題需要大家對幾個基本概念有理解，部分同學(xué)沒有翻閱書本的習(xí)慣，導(dǎo)致概念理解缺失，進(jìn)而導(dǎo)致不會解題，這里希望大家能回歸課本，很多方法和解題格式都在課本中
1、方程的解：使方程成立的未知數(shù)的值
2、方程組的解：使方程組內(nèi)所有方程都成立的未知數(shù)的值。


題型1
知解求參：在一元一次方程中屬于簡單題，特征也比較明顯，就是會告訴方程的解，讓我們求解方程中其它參數(shù)的值。




方法：解法比較固定，可以概括為4個字：知解代入。因?yàn)榉匠痰慕馐鞘欠匠坛闪⒌奈粗獢?shù)的值，所以我們把解代入原方程，還是會使等式成立，就會得到關(guān)于參數(shù)a的一個關(guān)系式，求解出a即可。這種思想在后面復(fù)雜問題中依然適用。

題型2
同解方程：此類題型在含參方程問題中屬于基礎(chǔ)題型，相信很多同學(xué)在期中考試中都曾遇到過。這類題可以看作是上一題的變型。基本原理還是利用“方程的解”這一基本概念去解題。

例題：

方法：這里雖然沒有直接給出方程解的具體值，但是我們可以用含有參數(shù)a的式子去表示方程的解。需要注意的是，因?yàn)轭}目說有相同的解，第一個方程的解就是第二個方程的解，所以有部分同學(xué)會根據(jù)之前所學(xué)“知解代入”直接把第一個方程的解代入到第二個方程里，雖然這樣也可以算出最終結(jié)果，但式子的復(fù)雜程度會增加。所以這里我們采取的技巧是：先表示出兩個方程的解，然后讓解相等。


此類題型還有幾類變型需要注意：會在方程解的關(guān)系上作出調(diào)整，比如：解互為相反數(shù)、解互為倒數(shù)、解相差多少，這一類都可以用相同思路解決：先表示出方程的解，然后根據(jù)題目所給關(guān)系列式子。


題型3
整數(shù)解問題：此類問題最大特征是要求符合整數(shù)解這一條件。在后面學(xué)習(xí)整式乘除運(yùn)算、二次方程時我們還會再次遇到。
例題：
方法：通過上題可以總結(jié)為把方程整理變形為ax=b一般形式，然后得到分式形式。變成分式形式后，因?yàn)榻庖�求是整�?shù)，所以分子需是分母的整數(shù)倍，再利用這一條件找到所有可能的情況。

題型4
同解方程組：二元一次方程組有相同的解，與一元一次方程相比，解題思路上有所區(qū)別，有一定技巧性，需要對“方程組的解”有深刻理解。
例題：

方法：重組方程組，將方程組內(nèi)能解出具體解的方程放在一起優(yōu)先解。
很多同學(xué)拿到這類方程組的題目就想埋頭苦算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)方程組里的未知數(shù)越來越多，式子越來越復(fù)雜。出現(xiàn)這一現(xiàn)狀的原因是沒有深刻理解：什么是方程組的解？方程組的解是使方程組內(nèi)所有方程都成立的未知數(shù)的值。所以觀察上題的方程組會發(fā)現(xiàn)：共有4個方程，其中有第一個方程組和第二個方程組里的2式都是同時含有四個未知的，而各自的1式里只含有x,y，所以我們把這兩個式子重新組成新的方程組，兩個方程去求解兩個未知數(shù)。能這么做的原因在于：方程組的解能使方程組內(nèi)所有方程都成立，所以我們可以先解x-y=-1和x+2y=8這兩個方程。


題型5
錯解方程組：此類問題最明顯的特征是：有一個正確的解，還有一個因不知名原因把方程組內(nèi)某個參數(shù)寫錯得到錯誤解。
例題：

方法：正解可代入方程組，錯解只代入不含錯誤參數(shù)的二元一次方程內(nèi)（即沒抄錯或?qū)戝e的方程）。
觀察上面兩題可以發(fā)現(xiàn)，都是因?yàn)閰��?shù)C出錯導(dǎo)致有錯誤的解。的值是沒有出錯的，所以方程組的錯誤解依然會使組內(nèi)的每一個方程成立。所以我們將正解、錯解都帶入到不含錯誤C的二元一次方程內(nèi)，會得到關(guān)于的a、b、c三個關(guān)系式，去求解出具體值。



題型6
整體思想求解方程組：最明顯特征是看上去極其復(fù)雜的方程組，但只要我們注意系數(shù)特點(diǎn)就會很簡單。
例題：
方法：通過上面兩道例題我們會發(fā)現(xiàn)方程組內(nèi)未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)不變，那么即使未知數(shù)字母發(fā)生變化，最終算出來的方程組解的值是不變的。利用這一特點(diǎn)，我們在遇到復(fù)雜方程組求解，滿足以上條件，可直接把相同系數(shù)的因式看作一個整體，使其與已知解相等，列出式子求解。



難度加大：此題難點(diǎn)在于要求解的方程組系數(shù)和常數(shù)部分目前和前一個方程組不相等，但可以通過等式變形轉(zhuǎn)化。變形后最終要求是：系數(shù)和常數(shù)和原方程一致，與系數(shù)相乘的因數(shù)或因式與已知解相等。






題型7
多元方程求比值：最明顯特征是多元方程組內(nèi)未知數(shù)個數(shù)比方程個數(shù)多，無法求解出每個未知數(shù)的值，題目也不會去要求我們求值。一般求未知數(shù)比值或者含未知數(shù)分式的值。

例題：

方法：用一個未知數(shù)去表示其它的未知數(shù)，最終化簡求比值。具體操作就是選一個未知數(shù)先看作是參數(shù)，其它未知數(shù)利用加減消元法消去，最后把方程組里的未知數(shù)都變成用開始選取的這個未知數(shù)去表示。

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寒水依衡 發(fā)表于 2023-10-20 15:29
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